第一百四十八章 缘幂势既同,则积不容异
“缘幂势既同,则积不容异。”朱载堉将一句话拿了出来,面色凝重的说道:“要理解这句话的意思,是非常困难的。”
这句话的意思是,等高的两立体,若其任意高处的水平截面积相等,则这两立体体积相等。
朱载堉拿出了两个立方体,第一个是正立方体,一个是球,这个正立方体的边长是球的直径,他将两个小球递给了张宏给陛下查验后,才开口说道:“这是从一个错误开始的。”
“九章算术中说:黄金方寸重十六两,金丸径寸重九两,率生于此,未曾验也。就是说边长为一寸的金属球重为十六两,而直径为一寸的球体,为九两。”
“进而我们得到了一个球体公式,也就是v=9/16d。”
“这个公式自从周朝就开始用了,《周官·考工记》:朅氏为量,改煎金锡则不耗,不耗然后权之,权之然后准之,准之然后量之。”
朱翊钧听闻之后,疑惑的问道:“用实际测量的方法算出的球体公式,误差有多少呢?”
张居正拿过了算盘噼里啪啦的打了下,解答道:“9/16-π/6≈0.038901,显而易见,差别不是很大,但是算学就是如此,不对就是不对。”
朱载堉继续说道:“是以九与十六之率,偶与实相近,而丸犹伤耳,按9/16的比率,来计算球和外切立方体体积时,则球的体积较实际多一些,多多少?多0.038倍左右。”
“我们之前在割圆的时候就讲到过,割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。”
“就是说,点构成了线,线构成了面,这也是面积口诀得到的基本原理。”
“我们知道一个圆的面积等于外切正方形面积的π/4,1300年前,刘徽思索能不能找到一个立方体,让这个立方体不管从哪里去切,它的横截面,都是一个圆和外切正方形呢?”
“刘徽设计了一个这样的立方体,名字叫牟合方盖,牟相同,合盖上,方,就是说这个立方体的每一个面的横截面都是正方形,盖雨伞,它的形状是两个方形的雨伞,扣在一起,正好和球完全相切。”
“刘徽将两个底面半径相同的圆柱体相交,然后将公共部分截取出来,得到了这个立方体。”
“这个时候,只要求出这个立方体的体积,乘以π/4,就得到了球的体积。”
“可惜,刘徽始终无法求出这个立方体的体积,说:陋形措意,惧失正理。敢不阙疑,以俟能言者,期许后人的智慧了。”
朱翊钧拿到了牟合方盖,这是朱载堉做的教具,得益于大明工匠们的巧手,将两个圆柱相交部分截出来的牟合方盖,这玩意的体积的确不好求,它不规则。
朱载堉才继续说道:“1000多年前,祖冲之的儿子祖暅解决了这个问题。”
“它将牟合方盖切成了八个小牟合方盖,然后截开,利用勾股定理等计算,将小牟合方盖减掉1/8球的体积,转化为了一个方锥的体积,得到方锥体积,就能得到小牟合方盖的体积为2r/3,大牟合方盖的体积为16r/3,球的体积等于4πr/3,解决了这个问题。”
“等高的两立体,若其任意高处的水平截面积相等,则这两立体体积相等,祖暅用这个方法,解决了圆锥体积公式,陛下这个很难理解。”
朱翊钧则是笑着说道:“缘幂势既同,则积不容异,不是很难理解。”
小皇帝稍微思考了下,拿出了铅笔,稍微画了两下,让张宏下去准备,没一会儿张宏拿过来了一个圆柱体,和一堆的银币。
“这是泰西来的银币,这是和银币底面半径相等的圆柱体。”朱翊钧将银币随意摞了起来,笑着说道:“它们体积相等,求圆柱体体积就是求银币的体积之和。”
张居正和朱载堉互相看了一眼,再看着摞在一起的银币和圆柱体,只能说,数学这件事上,似乎从来没有难住过陛下,陛下总是能够精准的理解这些内容。
朱载堉在讲什么?讲的是积分,无穷求和。
微分,是无穷切割,积分就是无穷求和,微分和积分互逆运算,就是微积分。
大明在数学领域,完全有资格进行考古式科研,能把一千多年前的数学原理捣鼓明白,大明的算学就已经,完完全全站在了世界的顶端。
“皇叔,是这样吗?”朱翊钧笑着说道。
朱载堉俯首说道:“是这样的,陛下英明。”
“难道仅仅这样吗?不能更进一步吗?”朱翊钧接着说道。
更进一步?朱载堉陷入了一些迷茫之中,还如何再进一步呢?他缺少一个数学工具才能再进一步。
“慢慢来就是了。”朱翊钧站起来,笑着说道:“皇叔钻研有方,重重有赏!”
考古式科研,不是什么不可以接受的事儿,无穷求和的概念,能够解决许多的现实问题,比如如火如荼的清丈,测量不规则图形面积的问题,就可以用到这种思想。
将一个不规则的图形,切割成以步为宽的小矩形,在步的左侧建立一个小矩形,在步的右侧建立一个小的矩形,步左和步右的矩形面积之和除以二,得到不规则田亩的面积,这个方法,在实际清丈中,运用的炉火纯青。
“陛下,程大位有丈量步车献上。”朱载堉其实对恩赏并不是很看重,他对这些身外之物,向来不怎么在意,要不然也不能在王府外的土房子里,一住就是十几年了。
朱载堉更加在乎,自己的志向能够达成,而且正在一步步的达成,陛下对他的科研工作的支持,就三个字,无上限,要什么给什么。
“丈量步车?”朱翊钧本来以为今天的算学已经结束,没想到还有大货在等着他,他满是笑意的说道:“快快呈上来。”
程大位将一辆丈量步车推了上来,将一本书递给了张宏。
这本书上是关于丈量步车的详细记录,完整的零件图、总装图、设计说明和改型说明,这是精确记录,度数旁通的成果,也就是说,只需要将这本书发下去,大明各地就可以利用这本书里的设计,大量制造丈量步车,测量大明田亩数量。
这东西说复杂看起来的确复杂,木制的外套、十字架,竹制的篾尺,铁制的转心、钻脚和环等部件组成,但其实就是后世用的卷尺。
程大位介绍着自己的丈量步车说道:“古者量田较阔长,全凭绳尺以牵量,所需人力极多,而且差错极大,不能精确。通过转动实现尺体的收放,蔑尺之上,逐寸写字,每寸为二厘;五寸为一分;五尺为一步,依次而增,至三十步以上或四十步以下可止,篾上用明油油之,字不易脱落,还容易清洗。”
五尺为步,步二百四十为亩,亩百为顷。
“好物,好物。”朱翊钧看着面前的卷尺,不住的点头说道:“先生,刊刻后送到南衙清丈使用可好?”
“臣遵旨。”张居正俯首说道。
卷尺的应用,将会大大的加快大明清丈,厘清天下田亩的具体数量,将已经近两百年未曾动过的鱼鳞册,好好核算清楚明白。
洪武二十六年,全国共核查出土地850万顷,大约有八亿五千万亩地,到了后来,这个鱼鳞册,图册已紊乱失实,在明孝宗弘治十五年后,全国登记在册的土地只有422万顷,一百零九年的时间里,减少了一半。
孝宗之后,422万顷这个严重失真的田亩数,一直是大明正赋的标准田册,而张居正要做的就是搞清楚天下田亩到底有多少,搞清楚天下田亩到底在谁的手里,田在谁手里,就问谁征税。
在原来的历史线里,张居正在万历九年将天下除河南的田亩全部清丈完毕,共计7013976顷,并且成为了后来的收税底册,这也是万历皇帝能够胡作非为的底气。
把田亩在谁手里搞清楚,张居正死后,不被清算才是怪事。
朱翊钧离开文化殿偏殿的时候,对着身边的张居正低声说道:“先生,请一定要保护好自己。”
张居正再俯首,向着文渊阁走去,张居正一边走一边思考问题,他要考虑考成法的糊名制度的漏洞,要考虑清丈过程中的种种姑息,要考虑土蛮诸部的蠢蠢欲动,要考虑西北族党会不会和俺答汗真正的走到一起…他要考虑很多很多,先帝将帝国和小皇帝交到他的手里,他要在还政的那天,将一个鼎盛的大明朝还给陛下。
而他并没有注意到,小皇帝在看他。
而朱翊钧看着文渊阁那迥异的黑色琉璃瓦,一直看着张居正走进了文渊阁内,小皇帝歪着头对张宏说道:“张大伴,你说先生到底图什么呢?”
张宏摇了摇头说道:“陛下这个问题,估计也是廷臣、朝臣、天下势要豪右、权豪缙绅们心中盘亘不去的问题,先生到底图什么呢?”
“臣尝思索,只得到了一个答案,那就是:报先帝、而忠于陛下之职分也。”
朱翊钧平静的说道:“先生想做诸葛孔明,有些人不想让他做,没事,牛鬼蛇神尽管前来,大不了,就把这天下烧的干干净净便是。”
在文渊阁内处理帝国政务的张居正猛地打了个哆嗦,看向了文华殿的方向,总觉得刚才一阵心悸。
“东北战事再起,西北仍有族党之虞。”吕调阳将一本奏疏贴上了空白浮票。
这又是一本弹劾张居正的奏疏,弹劾的内容还是老调重弹的张居正威震主上,只是参加廷议的吕调阳非常清楚,这帮人心里根本没数,真的把张居正给弹劾倒台了,小皇帝当政,局面只会更加糟糕。
看看之前礼部尚书陆树声致仕,小皇帝一句话没跟陆树声说,今天张翰一说致仕,陛下立刻答应,不是张居正从中周旋,怕是张翰现在已经滚蛋回家了。
张居正满是玩味的说道:“王崇古当家,张四维就作不了什么乱。”
“哦?元辅的意思是,这次张四维遇害,是王崇古干的?”吕调阳稍微斟酌了一下张居正的话,立刻品出了几分不同,对于张四维被人下毒,到底是谁下的手,众说纷纭,高拱的嫌疑最大。
让吕调阳意外的是,居然没人怀疑张居正下的手,这就是张居正最可怕的地方,张居正不用阴谋诡计,就可以大获全胜。
“这可是你说的,不是我说的。”张居正没有做出正面回应,但是他却是知道,是王崇古对张四维下手了。
游七的人脉很广,广到知道到底是谁做这些事,游七也大约知道了张府那个庖厨,逃亡了四川,但是逃到了哪里,就完全不知道了。
吕调阳听闻也是嗤笑一声说道:“真的是,狗咬狗一嘴毛,小人倾轧果然是不堪入目。”
“也不是小人吧,我觉得是张四维的一些行为,惹恼了王司寇,要不然王司寇也不会对自己的亲戚下手,那可是他亲外甥,他这不是被逼的没办法了吗?”张居正知道到底是什么行为激怒了王崇古动手。
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这句话的意思是,等高的两立体,若其任意高处的水平截面积相等,则这两立体体积相等。
朱载堉拿出了两个立方体,第一个是正立方体,一个是球,这个正立方体的边长是球的直径,他将两个小球递给了张宏给陛下查验后,才开口说道:“这是从一个错误开始的。”
“九章算术中说:黄金方寸重十六两,金丸径寸重九两,率生于此,未曾验也。就是说边长为一寸的金属球重为十六两,而直径为一寸的球体,为九两。”
“进而我们得到了一个球体公式,也就是v=9/16d。”
“这个公式自从周朝就开始用了,《周官·考工记》:朅氏为量,改煎金锡则不耗,不耗然后权之,权之然后准之,准之然后量之。”
朱翊钧听闻之后,疑惑的问道:“用实际测量的方法算出的球体公式,误差有多少呢?”
张居正拿过了算盘噼里啪啦的打了下,解答道:“9/16-π/6≈0.038901,显而易见,差别不是很大,但是算学就是如此,不对就是不对。”
朱载堉继续说道:“是以九与十六之率,偶与实相近,而丸犹伤耳,按9/16的比率,来计算球和外切立方体体积时,则球的体积较实际多一些,多多少?多0.038倍左右。”
“我们之前在割圆的时候就讲到过,割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。”
“就是说,点构成了线,线构成了面,这也是面积口诀得到的基本原理。”
“我们知道一个圆的面积等于外切正方形面积的π/4,1300年前,刘徽思索能不能找到一个立方体,让这个立方体不管从哪里去切,它的横截面,都是一个圆和外切正方形呢?”
“刘徽设计了一个这样的立方体,名字叫牟合方盖,牟相同,合盖上,方,就是说这个立方体的每一个面的横截面都是正方形,盖雨伞,它的形状是两个方形的雨伞,扣在一起,正好和球完全相切。”
“刘徽将两个底面半径相同的圆柱体相交,然后将公共部分截取出来,得到了这个立方体。”
“这个时候,只要求出这个立方体的体积,乘以π/4,就得到了球的体积。”
“可惜,刘徽始终无法求出这个立方体的体积,说:陋形措意,惧失正理。敢不阙疑,以俟能言者,期许后人的智慧了。”
朱翊钧拿到了牟合方盖,这是朱载堉做的教具,得益于大明工匠们的巧手,将两个圆柱相交部分截出来的牟合方盖,这玩意的体积的确不好求,它不规则。
朱载堉才继续说道:“1000多年前,祖冲之的儿子祖暅解决了这个问题。”
“它将牟合方盖切成了八个小牟合方盖,然后截开,利用勾股定理等计算,将小牟合方盖减掉1/8球的体积,转化为了一个方锥的体积,得到方锥体积,就能得到小牟合方盖的体积为2r/3,大牟合方盖的体积为16r/3,球的体积等于4πr/3,解决了这个问题。”
“等高的两立体,若其任意高处的水平截面积相等,则这两立体体积相等,祖暅用这个方法,解决了圆锥体积公式,陛下这个很难理解。”
朱翊钧则是笑着说道:“缘幂势既同,则积不容异,不是很难理解。”
小皇帝稍微思考了下,拿出了铅笔,稍微画了两下,让张宏下去准备,没一会儿张宏拿过来了一个圆柱体,和一堆的银币。
“这是泰西来的银币,这是和银币底面半径相等的圆柱体。”朱翊钧将银币随意摞了起来,笑着说道:“它们体积相等,求圆柱体体积就是求银币的体积之和。”
张居正和朱载堉互相看了一眼,再看着摞在一起的银币和圆柱体,只能说,数学这件事上,似乎从来没有难住过陛下,陛下总是能够精准的理解这些内容。
朱载堉在讲什么?讲的是积分,无穷求和。
微分,是无穷切割,积分就是无穷求和,微分和积分互逆运算,就是微积分。
大明在数学领域,完全有资格进行考古式科研,能把一千多年前的数学原理捣鼓明白,大明的算学就已经,完完全全站在了世界的顶端。
“皇叔,是这样吗?”朱翊钧笑着说道。
朱载堉俯首说道:“是这样的,陛下英明。”
“难道仅仅这样吗?不能更进一步吗?”朱翊钧接着说道。
更进一步?朱载堉陷入了一些迷茫之中,还如何再进一步呢?他缺少一个数学工具才能再进一步。
“慢慢来就是了。”朱翊钧站起来,笑着说道:“皇叔钻研有方,重重有赏!”
考古式科研,不是什么不可以接受的事儿,无穷求和的概念,能够解决许多的现实问题,比如如火如荼的清丈,测量不规则图形面积的问题,就可以用到这种思想。
将一个不规则的图形,切割成以步为宽的小矩形,在步的左侧建立一个小矩形,在步的右侧建立一个小的矩形,步左和步右的矩形面积之和除以二,得到不规则田亩的面积,这个方法,在实际清丈中,运用的炉火纯青。
“陛下,程大位有丈量步车献上。”朱载堉其实对恩赏并不是很看重,他对这些身外之物,向来不怎么在意,要不然也不能在王府外的土房子里,一住就是十几年了。
朱载堉更加在乎,自己的志向能够达成,而且正在一步步的达成,陛下对他的科研工作的支持,就三个字,无上限,要什么给什么。
“丈量步车?”朱翊钧本来以为今天的算学已经结束,没想到还有大货在等着他,他满是笑意的说道:“快快呈上来。”
程大位将一辆丈量步车推了上来,将一本书递给了张宏。
这本书上是关于丈量步车的详细记录,完整的零件图、总装图、设计说明和改型说明,这是精确记录,度数旁通的成果,也就是说,只需要将这本书发下去,大明各地就可以利用这本书里的设计,大量制造丈量步车,测量大明田亩数量。
这东西说复杂看起来的确复杂,木制的外套、十字架,竹制的篾尺,铁制的转心、钻脚和环等部件组成,但其实就是后世用的卷尺。
程大位介绍着自己的丈量步车说道:“古者量田较阔长,全凭绳尺以牵量,所需人力极多,而且差错极大,不能精确。通过转动实现尺体的收放,蔑尺之上,逐寸写字,每寸为二厘;五寸为一分;五尺为一步,依次而增,至三十步以上或四十步以下可止,篾上用明油油之,字不易脱落,还容易清洗。”
五尺为步,步二百四十为亩,亩百为顷。
“好物,好物。”朱翊钧看着面前的卷尺,不住的点头说道:“先生,刊刻后送到南衙清丈使用可好?”
“臣遵旨。”张居正俯首说道。
卷尺的应用,将会大大的加快大明清丈,厘清天下田亩的具体数量,将已经近两百年未曾动过的鱼鳞册,好好核算清楚明白。
洪武二十六年,全国共核查出土地850万顷,大约有八亿五千万亩地,到了后来,这个鱼鳞册,图册已紊乱失实,在明孝宗弘治十五年后,全国登记在册的土地只有422万顷,一百零九年的时间里,减少了一半。
孝宗之后,422万顷这个严重失真的田亩数,一直是大明正赋的标准田册,而张居正要做的就是搞清楚天下田亩到底有多少,搞清楚天下田亩到底在谁的手里,田在谁手里,就问谁征税。
在原来的历史线里,张居正在万历九年将天下除河南的田亩全部清丈完毕,共计7013976顷,并且成为了后来的收税底册,这也是万历皇帝能够胡作非为的底气。
把田亩在谁手里搞清楚,张居正死后,不被清算才是怪事。
朱翊钧离开文化殿偏殿的时候,对着身边的张居正低声说道:“先生,请一定要保护好自己。”
张居正再俯首,向着文渊阁走去,张居正一边走一边思考问题,他要考虑考成法的糊名制度的漏洞,要考虑清丈过程中的种种姑息,要考虑土蛮诸部的蠢蠢欲动,要考虑西北族党会不会和俺答汗真正的走到一起…他要考虑很多很多,先帝将帝国和小皇帝交到他的手里,他要在还政的那天,将一个鼎盛的大明朝还给陛下。
而他并没有注意到,小皇帝在看他。
而朱翊钧看着文渊阁那迥异的黑色琉璃瓦,一直看着张居正走进了文渊阁内,小皇帝歪着头对张宏说道:“张大伴,你说先生到底图什么呢?”
张宏摇了摇头说道:“陛下这个问题,估计也是廷臣、朝臣、天下势要豪右、权豪缙绅们心中盘亘不去的问题,先生到底图什么呢?”
“臣尝思索,只得到了一个答案,那就是:报先帝、而忠于陛下之职分也。”
朱翊钧平静的说道:“先生想做诸葛孔明,有些人不想让他做,没事,牛鬼蛇神尽管前来,大不了,就把这天下烧的干干净净便是。”
在文渊阁内处理帝国政务的张居正猛地打了个哆嗦,看向了文华殿的方向,总觉得刚才一阵心悸。
“东北战事再起,西北仍有族党之虞。”吕调阳将一本奏疏贴上了空白浮票。
这又是一本弹劾张居正的奏疏,弹劾的内容还是老调重弹的张居正威震主上,只是参加廷议的吕调阳非常清楚,这帮人心里根本没数,真的把张居正给弹劾倒台了,小皇帝当政,局面只会更加糟糕。
看看之前礼部尚书陆树声致仕,小皇帝一句话没跟陆树声说,今天张翰一说致仕,陛下立刻答应,不是张居正从中周旋,怕是张翰现在已经滚蛋回家了。
张居正满是玩味的说道:“王崇古当家,张四维就作不了什么乱。”
“哦?元辅的意思是,这次张四维遇害,是王崇古干的?”吕调阳稍微斟酌了一下张居正的话,立刻品出了几分不同,对于张四维被人下毒,到底是谁下的手,众说纷纭,高拱的嫌疑最大。
让吕调阳意外的是,居然没人怀疑张居正下的手,这就是张居正最可怕的地方,张居正不用阴谋诡计,就可以大获全胜。
“这可是你说的,不是我说的。”张居正没有做出正面回应,但是他却是知道,是王崇古对张四维下手了。
游七的人脉很广,广到知道到底是谁做这些事,游七也大约知道了张府那个庖厨,逃亡了四川,但是逃到了哪里,就完全不知道了。
吕调阳听闻也是嗤笑一声说道:“真的是,狗咬狗一嘴毛,小人倾轧果然是不堪入目。”
“也不是小人吧,我觉得是张四维的一些行为,惹恼了王司寇,要不然王司寇也不会对自己的亲戚下手,那可是他亲外甥,他这不是被逼的没办法了吗?”张居正知道到底是什么行为激怒了王崇古动手。
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